Il mondo reale è complicato. Un flusso di lava non è un materiale uniforme, ma un miscuglio caotico di roccia fusa, gas disciolti e cristalli. L’aria che scorre attorno all’ala di un aereo non ha proprietà costanti. Il tessuto biologico attraverso cui si diffondono i nutrienti non è omogeneo. Eppure per decenni i matematici hanno dovuto semplificare queste complessità per poterle descrivere con le loro equazioni. Fino a oggi.

Cristiana De Filippis, 33 anni, professoressa all’Università di Parma, e Giuseppe Mingione, suo collaboratore nello stesso ateneo, hanno appena completato un progetto iniziato quasi un secolo fa: dimostrare che anche le equazioni che descrivono materiali non uniformi – cioè il mondo così com’è veramente – possono avere soluzioni “regolari”, cioè matematicamente controllabili (gli inglesi scrivono well-behaved), e quindi utilizzabili per fare previsioni affidabili.

Il loro lavoro, pubblicato nell’estate 2025 e raccontato con ampio risalto dalla prestigiosa rivista americana Quanta Magazine, rappresenta un punto di svolta per la matematica applicata e per tutte le scienze che si basano sulle equazioni differenziali alle derivate parziali – dalla fisica alla biologia, dall’ingegneria all’economia.

L’enigma delle equazioni ribelli

La storia inizia negli anni Trenta del Novecento, quando il matematico polacco Juliusz Schauder si pose una domanda fondamentale: quando possiamo essere sicuri che una equazione differenziale alle derivate parziali (PDE, nell’acronimo inglese) abbia una soluzione “regolare”?

Le PDE sono gli strumenti matematici che usiamo per descrivere qualsiasi fenomeno che cambia nello spazio e nel tempo: dalla traiettoria di una tempesta alla diffusione del calore, dalla propagazione delle onde alla distribuzione dello stress in un ponte. Ma queste equazioni sono notoriamente difficili da risolvere direttamente. I matematici devono quindi ricorrere a un approccio indiretto: invece di calcolare la soluzione esatta, dimostrano che deve essere “regolare” – cioè che i suoi valori non possono saltare improvvisamente in modo fisicamente impossibile.

Schauder riuscì a dimostrare che per una classe importante di queste equazioni – le cosiddette equazioni ellittiche, che descrivono fenomeni in equilibrio, come la temperatura di una colata di lava dopo che si è raffreddata – bastava una condizione: le regole che governano il fenomeno (per esempio, come si propaga il calore) non dovevano cambiare troppo bruscamente da punto a punto. Una volta capite le equazioni ellittiche si può poi passare alla loro versione evolutiva, quelle paraboliche, che servono a descrivere l’evoluzione dei sistemi nel tempo. Queste equazioni in un certo senso contengono quelle ellittiche, ma la loro analisi riposa comunque su quella della loro parte ellittica, che codifica le proprietà fisiche dei sistemi nella maggior parte dei casi.

La teoria di Schauder funzionava però per materiali “uniformi”, dove esistono limiti ben definiti su quanto possano essere estreme le proprietà del sistema. In questi casi ideali, il calore fluisce sempre entro certi limiti di velocità.

Ma il mondo reale non è sempre “uniforme”. In un materiale eterogeneo possiamo avere differenze drastiche: alcune regioni potrebbero condurre il calore estremamente bene, altre estremamente male. E per questi casi, la teoria di Schauder sembrava non bastare più.

Vent’anni di attesa

Giuseppe Mingione si imbatté in questo problema nell’agosto del 2000. Ventottenne, appena uscito dal dottorato, si trovava in un vecchio resort in Russia per una conferenza sulle equazioni differenziali. Una sera, avendo tempo a disposizione, cominciò a leggere alcuni articoli del matematico Vasilij Zhikov, un genio russo che aveva incontrato al convegno e che conosceva di nome. Fu allora che si rese conto del problema: le equazioni non uniformemente ellittiche che sembravano ben comportate potevano in realtà avere soluzioni irregolari, anche quando soddisfacevano la condizione di Schauder.

Tornato in Italia, Mingione – all’epoca professore a Parma – lavorò con due colleghi per formulare una congettura: le equazioni non uniformemente ellittiche avevano bisogno di una condizione aggiuntiva, più stringente. Non bastava più che le regole del sistema cambiassero gradualmente: questi cambiamenti dovevano essere controllati in modo ancora più rigoroso, e il controllo doveva essere tanto più stretto quanto più il materiale era disomogeneo.

Mingione e i suoi collaboratori, Luca Esposito e Francesco Leonetti, riuscirono a dimostrare che quando questa nuova condizione – espressa nella forma di una semplice disuguaglianza numerica  – non veniva rispettata, le soluzioni potevano effettivamente diventare irregolari. Ma non riuscirono a dimostrare l’inverso: che quella condizione fosse sufficiente a garantire la regolarità. A quel punto furono in grado soltanto di fornire un primo risultato di regolarità, troppo lontano dalla  Teoria di Schauder. Mingione ci lavorò per anni, ottenendo solo risultati molto parziali, ma senza venirne mai a capo.

La chiamata di mezzanotte

Passano quasi vent’anni. Nel 2017, una studentessa di dottorato al primo anno, Cristiana De Filippis, sente parlare del problema e, nonostante matematici più esperti la mettano in guardia, decide di contattare Mingione. Una sera, durante una videochiamata su Skype che si protrae fino a notte fonda, complice la solita insonnia di Mingione, la giovane ricercatrice – che stava completando il suo dottorato a Oxford – gli dice che ha delle idee per dimostrare quella vecchia congettura e che è determinata a riprendere il lavoro da dove lui l’aveva lasciato.

«È stato come una macchina del tempo», ricorda Mingione nell’intervista a Quanta Magazine. «È stato come incontrare me stesso di vent’anni prima che bussa alla porta della mia mente».

Nata a Bari ma cresciuta a Matera, dopo il liceo scientifico De Filippis si era trasferita al Nord per studiare matematica: laurea triennale a Torino con Susanna Terracini, magistrale alla Bicocca di Milano con Veronica Felli, un periodo di ricerca in Francia con Paola Goatin, poi il dottorato a Oxford sotto la guida di Jan Kristensen, antico collaboratore di Mingione. De Filippis si era appassionata alla teoria della regolarità già alla Bicocca, grazie alle lezioni di Arrigo Cellina, esperto di Calcolo delle Variazioni di fama mondiale. Proprio durante il dottorato aveva iniziato a lavorare su problemi legati alla teoria della regolarità che erano stati inizialmente affrontati proprio dal gruppo di Parma, e i suoi primi lavori avevano attirato l’attenzione della comunità internazionale. Ecco scoccare la scintilla che riaccende il fuoco di quella ricerca impossibile.

L’equazione fantasma

La chiave per dimostrare che la soluzione di una PDE è regolare è mostrare che cambia sempre in modo controllato. I matematici lo fanno studiando una funzione speciale chiamata “gradiente”, una generalizzazione a più direzioni dell’usuale derivata di una funzione, che descrive quanto velocemente la soluzione cambia in ogni punto. Se riescono a dimostrare che il gradiente non può diventare troppo grande, hanno vinto.

Ma proprio come è impossibile calcolare direttamente la soluzione di queste equazioni, è anche impossibile calcolarne il gradiente. Serviva un altro approccio.

De Filippis e Mingione derivano dalla PDE originale quella che hanno chiamato una “equazione fantasma” (ghost equation) – un’ombra di ciò di cui avevano realmente bisogno. Era qui che Mingione si era arenato decenni prima. Ma De Filippis ha un’idea su come affinare questa equazione fantasma per farle fornire un’immagine più nitida della PDE originale. Usando una procedura lunga e articolata, in più passaggi, i due riescono a ricavare dall’equazione fantasma informazioni sufficienti per ricostruire il gradiente.

«È un approccio che può sembrare un po’ azzardato», ha commentato Simon Nowak dell’Università di Bielefeld in Germania. «Ma funziona, ed è davvero elegante».

Il passo successivo consiste nel dimostrare che questo gradiente non possa diventare troppo grande. Lo dividono in pezzi più piccoli grazie a una tecnica che si chiama decomposizione atomica non lineare, introdotta da Kristensen e Mingione molti anni prima, e dimostrano che ciascun pezzo non può superare una dimensione specifica. Si tratta di uno sforzo enorme: anche il più piccolo errore di misurazione su un singolo pezzo farebbe crollare la loro stima del gradiente, allontanandoli dalla soglia che stavano cercando di dimostrare.

In un primo lavoro, pubblicato nel 2023 sulla rivista Inventiones Mathematicae, riescono a domare tutti questi pezzi abbastanza bene da dimostrare che le PDE non uniformemente ellittiche che soddisfacevano la una versione rafforzata della diseguaglianza inizialmente formulata da Mingione dovevano avere hanno soluzioni regolari. Ma la condizione iniziale del 2000 è ancora lontana. 
Per dimostrare la congettura completa, devono ottenere stime ancora migliori sulle dimensioni dei pezzi del gradiente. Questo ha richiesto di ricominciare da capo molte volte – «un gioco senza fine», come lo ha definito De Filippis. Ma alla fine, riescono a dimostrare che la soglia prevista da Mingione decenni prima era esattamente quella giusta.

«È stato un miracolo della disperazione», commenta Mingione. Sembra di sentire Max Planck quando nel 1900 si esprime più o meno allo stesso modo quando escogita la famosa costante universale h dallo studio del corpo nero. I matematici, si sa, sanno essere drammatici.

Oltre il secolo

Il risultato non è solo il completamento di un progetto lungo un secolo. È anche ricco di possibilità per la scienza applicata. Fino a oggi, i ricercatori che volevano studiare fenomeni complessi del mondo reale – la diffusione dell’ossigeno nei tessuti tumorali, il flusso dell’acqua attraverso rocce porose con strutture eterogenee, la distribuzione dello stress in materiali compositi – dovevano semplificare le loro equazioni, assumendo forzatamente una uniformità fittizia. Ora, grazie al lavoro di De Filippis e Mingione, possono usare equazioni più realistiche, che approssimano meglio la realtà.

«La parte magica», ha osservato Tuomo Kuusi dell’Università di Helsinki, «è che sono riusciti a mettere tutta questa teoria profonda sotto un unico ombrello e poi a spremerne fuori la una dimostrazione».

I due matematici non si sono solo occupati di equazioni ellittiche. Le loro tecniche stanno già stimolando ricerche su altri tipi di equazioni differenziali alle derivate parziali, comprese quelle che cambiano sia nello spazio che nel tempo – sono proprio le equazioni paraboliche, quelle che descrivono processi dinamici come la diffusione del calore o la propagazione di inquinanti.

Una storia italiana

La vicenda di De Filippis e Mingione è anche una storia di eccellenza scientifica italiana che, contro le tendenze dominanti, riesce a trattenere talenti.

Il gruppo di Analisi Matematica dell’Università di Parma è oggi riconosciuto internazionalmente come uno dei più importanti al mondo nel campo della teoria della regolarità per equazioni differenziali. I risultati ottenuti negli anni hanno aperto interi filoni di ricerca che oggi vengono sviluppati in decine di università in tutto il mondo. Questa intensa attività ha portato a Parma numerosi esperti di fama mondiale e giovani ricercatori che vengono a perfezionarsi – tra loro, inizialmente, proprio Cristiana De Filippis.

Per De Filippis, il 2024 è stato un anno straordinario. A luglio ha ricevuto il Premio della European Mathematical Society (EMS Prize), il più prestigioso riconoscimento della matematica europea, assegnato ogni quattro anni a un massimo di dieci matematici under 36. Il premio è considerato l’anticamera della Medaglia Fields, spesso definita il “Nobel della matematica”. De Filippis lo ha vinto a soli 31 anni, diventando la prima ricercatrice italiana a riceverlo lavorando in un’università italiana. (L’altra vincitrice italiana di quell’edizione, Maria Colombo del Politecnico di Losanna, aveva anch’essa stretti legami con Parma, avendo scritto alcuni dei suoi lavori più citati proprio con Mingione e con Paolo Baroni, altro docente dell’ateneo parmense. Un’altra ricercatrice, Corinna Ulcigrai, ha vinto il premio nel 2012 e ha sempre lavorato all’estero. È adesso professoressa presso l’Università di Zurigo).

Il premio EMS è parte di una lunga serie di riconoscimenti che De Filippis ha ricevuto negli ultimi anni: il G-Research Prize a Oxford nel 2019, il Premio Iapichino dell’Accademia dei Lincei nel 2020, il Premio Bartolozzi dell’Unione Matematica Italiana nel 2024, un ERC Grant e il SIAM Early Career Prize nel 2025. Forbes l’ha inserita nella lista delle 100 donne italiane di successo del 2023. Secondo la banca dati dell’American Mathematical Society, è una delle persone più citate della matematica mondiale nella sua generazione.

Nonostante offerte prestigiose dall’estero, De Filippis ha scelto di tornare e restare in Italia. «Avere l’opportunità di interagire sin da subito con alcuni leader del settore come quelli che lavorano a Parma ha rappresentato per me un grande vantaggio e un grande stimolo», ha spiegato in un’intervista. «L’atmosfera che ho trovato nel gruppo di Analisi Matematica di Parma, con colleghi eccezionali e una grande disponibilità a valorizzare il talento dei più giovani, è stata fondamentale».

Dal 2025, a soli 32 anni, De Filippis è professoressa ordinaria di Analisi Matematica all’Università di Parma.«Le equazioni differenziali alle derivate parziali sono sempre state quasi proibitive da analizzare matematicamente», scrive Quanta Magazine. «Ora sono diventate solo un po’ più facili. E dietro di loro c’è un’enorme realtà che aspetta di essere spiegata».

Ho avuto anch’io l’occasione di intervistare la giovane matematica in una passata edizione del festival della Scienza a Genova, e ne sono rimasto stregato. Quel giorno io e il pubblico abbiamo capito quello che abbiamo capito. Io poco. Ma proprio per questo a me come ad altri è venuta voglia di «fraintendere un po’ più profondamente», come diceva scherzando Niels Bohr.